设R是集合X上的一个自反关系

问题描述：

设R是集合X上的一个自反关系。求证：R是对称和传递的，当且仅当<a,b> 和<a,c> 在R之中则有<b,c> 在R之中。

问题解答：

证明：必要性显然
充分性：因为若(a,b),(a,c)属于R,则(b,c)都属于R
由(a,b)和(a,a)属于R，所以(b,a)属于R
由(a,c)和(a,a)属于R，所以(c,a)属于R
由(a,c)和(a,b)属于R，所以(c,b)属于R
所以R满足对称性
由(a,b),(b,c)和(a,c)属于R
(b,a),(a,c)和(b,c)属于R
(a,c),(c,b)和(a,b)属于R
(c,a),(a,b)和(c,b)属于R
(b,c),(c,a)和(b,a)属于R
(c,b),(b,a)和(c,a)属于R
所以R满足传递性。
证毕。

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