为什么C*代数作为Banach空间自反时一定有限维？

问题描述：

为什么C*代数作为Banach空间自反时一定有限维？
顺便推广一下，C*代数到底有哪些典型的性质，它比一般的Banach空间乃至Banach代数、Banach*代数优越在什么地方！

这个对么：
A称为C*代数若其满足
∀x,yϵA,γ,μϵC,
一(γx+μy)*=γ_x*+μ_y*,
二(xy)*=y*x*,
三(x*)*=x,
四|(|x*x| )|=|(|x| )|^2
这方面了解不多，随便写写证明不知对不对，就当抛砖引玉吧。Banach空间具有完备性，由条件，A有单位元，设S是其单位球，A~为A的包络Vn代数，若u是A~酉元，由谱分解u=∫_0^2π▒〖e^iθ dp(θ)=limexp(i∑▒〖2πk/n p_k^n 〗〗), p_k^n 为A~投影，从而Co={e^ih│h*=h∈A}在S稠密。从而A在Banach空间的自反其单位球是紧的，从而因为n.v.s中，设M是闭集，对θϵ(0,1),∃x_θ∈X s.t.||x_θ ||=1,d(x_θ,M)≥0,进而若单位球紧，则 dim⁡(X)<∞是有限维。
Banach*代数跟C*代数差不多，只是没有最后一个性质
C*代数的性质有很多，不知道说的哪一个。比如：
一A是Banach*代数，如果对A的任意正规元a(a*a=aa*),||a*a||=||a*||∙|(|a| )|,则A是c*代数。
二A是c*代数,aϵA,则aϵA_+ 当且仅当∃b∈A,s.t.a=b*b
三A是c*代数,1) a,bϵA_+,a≤b,则|(|a| )|≤|(|b| )|,及cac*≤c*bc,∀cϵA;2)A_+ 是A的闭子集；3）如果A有单位元，a,bϵA_+,a≤b，且a,b在A中均有逆，则b^(-1)≤a^(-1)

问题解答：

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