求人大自招题目答案：证明任意四面体至少存在一个顶点，使得过该顶点的三条棱可以是三角形的三条边。

问题描述：

问题解答：

反证法。假设任意顶点的3条棱都不构成三角形，
设四面体ABCD最长边为AB=a,设其邻边BC=b,BD=c,AD=d,AC=e
则由假设与AB的最长性质可知：a≥d+e(过顶点A)，a≥b+c(过顶点B)
于是2a≥b+c+d+e,
而由AB,BC,AC构成三角形知a＜b+e,AB,BD,AD构成三角形知a＜c+d
于是2a＜b+c+d+e
矛盾！
所以命题成立！

反证:假设任意顶点的3条棱都不构成三角形

不妨设e是最长的一条边

如图，若不构成三角形，则e>=a+b,e>=c+d

所以2e>=a+b+c+d.............................(1)

但在左右两个三角形中，a+d>e,b+c>e

所以2e<a+b+c+d.............................(2)

显然，(1)与(2)矛盾

反证不成立，所以原命题成立，即证明任意四面体至少存在一个顶点，使得过该顶点的三条棱可以是三角形的三条边。

这是imo的老题，只有两种人做得出来，一种是知道这题的，一种是知道会考这题的