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问题描述：

若不等式1<=(ax^2+8x+b)/(x^2+1)<=9对于一切实数x恒成立，则a,b的值为？

问题解答：

设:y=(ax^2+8x+b)/(x^2+1)
yx^2+y=ax^2+8x+b
(y-a)x^2-8x+(y-b)=0
这个关于x的方程有解则判别式大于等于0
所以64-4(y-a)(y-b)>=0
(y-a)(y-b)-16<=0
y^2-(a+b)y+(ab-16)<=0
这个不等式的解是y1=<y=<y2
其中y1和y2是方程y^2-(a+b)y+(ab-16)=0的根
所以y1+y2=a+b,y1y2=ab-16
值域是{y∣1≤y≤9}
所以y1=1,y2=9
a+b=y1+y2=10
ab-16=y1y2=9
ab=25
所以a和b是方程x^2-10x+25=0的两个跟
(x-5)^2=0
x=5
所以a=b=5

设:y=(ax^2+8x+b)/(x^2+1)
yx^2+y=ax^2+8x+b
(y-a)x^2-8x+(y-b)=0
这个关于x的方程有解则判别式大于等于0
所以64-4(y-a)(y-b)>=0
(y-a)(y-b)-16<=0
y^2-(a+b)y+(ab-16)<=0
这个不等式的解是y1=<y=<y2
其中y1和y2是方程y^2-(a+b)y+(ab-16)=0的根
所以y1+y2=a+b,y1y2=ab-16
值域是{y∣1≤y≤9}
所以y1=1,y2=9
a+b=y1+y2=10
ab-16=y1y2=9
ab=25
所以a和b是方程x^2-10x+25=0的两个跟
(x-5)^2=0
x=5
所以a=b=5