问题描述：
AB为半圆的直径,PA⊥AB于点A（P与半圆在AB同一侧，位置不定）,连结PB，PC切半圆于点C，CD⊥AB于点D，交PB于点M，求证CM=DM
问题解答：
证:
延长AP、BC，相交于点E，则由已知条件可知
CD//AE
△BDM∽△BAP，△BCM∽△BEP
DM/AP=BM/BP=CM/EP
现在的问题变为要证AP=EP，由已知条件可知AP=CP，即要证EP=CP，AB为直径，连接AC，则
AC⊥BE，PC=PA，∠PAC=∠PCA
∠E+∠PAC=∠ECP+∠PCA=90°
∠E=∠ECP
EP=CP=AP
DM/AP=BM/BP=CM/EP
CM=DM
☆温柔的左边☆ 辅助线作得很妙
另一种解法:
面积法
连接PD、BC
CM/DM=(S△PCB)/(S△PBD)
又 (S△PCB)/ (S△PAB)=(PC•BC•sin∠PCB)/(PA•AB)
由于PA＝PC，∠PCB=∠ACB+∠PCA＝90°+∠ABC,即知sin∠PCB＝cos∠ABC
于是(S△PCB)/ (S△PAB)＝（BC•cos∠ABC）/AB＝BD/AB＝(S△PBD)/ (S△PAB)
所以CM/DM=(S△PCB)/(S△PBD)＝1
故CM＝DM
第三种解法：
设PB与半圆交于点K，连接AC、BC
则DM/PA＝BM/PB，又PA^2=PC^2=PK•PB
所以DM/BM=PA/PB=PK/PA=PK/PC
再由正弦定理知：DM/BM=sin∠PCK/sin∠PKC= sin∠CBK/sin∠CKB
而∠CKB=∠CAB=90°-∠ABC=∠BCD
所以PK/PC＝sin∠CBK/sin∠BCD，CM/BM＝sin∠CBK/sin∠BCD
故有DM/BM＝CM/BM，从而得DM=CM
第四种解法:
连AC、BC、PO，O为半圆圆心，即AB的中点，设PO交AC于点G，连接GM
则由PA、PC均为圆的切线知：PO垂直平分AC
所以OG为△ABC中位线，即有OG//BC，所以 ∠ABC＝∠AOP，从而有Rt△ABC∽Rt△POA，而CD、AG分别是它们斜边上的高，所以BD/AD＝OG/PG
而由MD//PA知，BD/AD＝BM/PM，故有OG/PG＝BM/PM，从而知GM//AB
而G为AC中点，故M为CD中点，即有CM=DM
平面几何方法很难唉,想了老半天也没看出来怎么做...但是用解析几何来做的话就非常简单了...
平面几何太伤脑细胞了...
我们做过的
过B作BE垂直于AB交PC延长线于E
然后用闭路线端坐就可以了
连接AC,延长BC与AP的延长线交于点E
由条件得
PA=PC ①
AC⊥BE②
由①和②
=> PC=PE=PA ③
CD⊥AB => CD/AE=DM/PA
∴CM=DM
哇靠~没图很郁闷诶~~
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