在等边三角形内任取一点P,自P分别向三边AB,BC和CA作垂线,垂足依次是D,E和F。求证:AD+BE+CF=BD+CE+AF

问题描述：

在等边三角形内任取一点P，自P分别向三边AB，BC和CA作垂线，垂足依次是D，E和F。求证：AD+BE+CF=BD+CE+AF
P是任意一点！！！！！！！！！！！

问题解答：

连接 AP BP CP
由勾股定理 在RT△ADP中 AD^2+DP^2=AP^2 在RT△AFP中 AF^2+FP^2=AP^2
所以 AD^2+DP^2=AF^2+FP^2
同理 在RT△BDP 和 RT△BEP 中 BE^2+EP^2=BD^2+DP^2=BP^2
在RT△CEP 和 RT△CFP 中 CF^2+FP^2=CE^2+EP^2=CP^2

所以 AD^2+DP^2=AF^2+FP^2
BE^2+EP^2=BD^2+DP^2
CF^2+FP^2=CE^2+EP^2
三个等式 左边加左边 右边加右边的
AD^2+DP^2+BE^2+EP^2+CF^2+FP^2==AF^2+FP^2+BD^2+DP^2+CE^2+EP^2
约去相同项 得
AD^2+ BE^2+CF^2=AF^2+BD^2+CE^2 移项
AD^2+ BE^2+CF^2-AF^2-BD^2-CE^2=0 整理的
(AD^2-BD^2)+(BE^2-CE^2)+(CF^2-AF^2)=0
(AD+BD)(AD-BD)+(BE+CE)(BE-CE)+(CF+AF)(CF-AF)=0
又 AD+BD=AB BE+CE=BC CF+AF=AC
所以 上式变为 AB(AD-BD)+BC(BE-CE)+AC(CF-AF)=0
因为是 等边三角形 所以 AB=AC=BC
所以 上式变为 AB(AD-BD)+AB(BE-CE)+AB(CF-AF)=0
AB [(AD-BD)+(BE-CE)+(CF-AF)]=0 整理得
AB (AD+BE+CF-BD-CE-AF)=0
AB不等于0 所以 AD+BE+CF-BD-CE-AF=0
所以 AD+BE+CF=BD+CE+AF

这个都不会````你初几啊
因为（3点打不出来）这个三角形为等边三角形（已知）
所以AB=BC=AC（等边三角形三边相等）
又因为做P点向三边作垂线（已知）
所以PD PE PF 又是三边的中线（等边三角形三线和一）
所以AD=DB=BE=EC=AF=FE
所以AD+BE+CF=BD+CE+AF（等量代换 或者不写）

我写的这么详细~~~~~给我加分

这题没那么简单.