一道2005年上海数学高考题

问题描述：

设定义域为R的函数f(x),当x不等于1时,f(x)=│lg│x-1││
当等于1时,f(x)=0
则关于X的方程f^2(x)+bf(x)+c=0
有7个不同实数根的充要条件是
A.b<0,c>0
B.b>0,c<0
C.b<0,c=0
D.b>=0,c=0

问题解答：

解答：
第一步，划出lgx的函数图；
第一步，将上图右移一个单位，即可画出lg(x-1)的函数图；
第二步，将原图中函数值小于0的部分图沿x轴折向x轴上方，即可画出|lg(x-1)|的函数图；
第三步，再将上图按照x=1轴为对称轴，即可画出|lg|x-1||的函数图；
第四步，加上x=1，f（x）=0的点；

因此，设f(x)=a,
则：
1）a>0, 不同实数解有四个；
2）a=0，不同实数解有三个；
3）a<0，无解；
因此要使f^2(x)+bf(x)+c=0 有7个不同实数解的充要条件是方程x^2+bx+c=0有两个根，一个等于0，一个大于0。此时应b<0 且c=0 。
故选C

很明显这是指数函数嘛,一想就知道了!!
设y=x f(x+x)=f(x)*f(x)
f(2x)=(f(x))^2
所以f(2x)>0

f(x)=│lg│x-1││>=0
f(x)=0三实根0,1,2
f(x)>0则
设f(x)=a
a=lg│x-1│
－a＝lg│x-1│
每个有2实根
一共有四个实根

f^2(x)+bf(x)+c=0
f(x)=t

关于t的一元2次方程
tt+bt+c=0
有一个根0
一个根>0
c=0
b<0

选C～～

因为f(x)=|lg|x-1||是由函数g(x)=|lg|x||作左右平移得到的
所以[f(x)]²+bf(x)+c=0与[g(x)]²+bg(x)+c=0的根的个数是是相同的
因为g(x)是偶函数，且有定义g(0)=0
所以要使[g(x)]²+bg(x)+c=0有7个根，g(0)必须是该方程的一个根
代入得0+0+c=0，所以c=0
又知当x不等于0时，g(x)>0
所以方程[g(x)]²+bg(x)+c=0的另外一根必然大于0
代入c=0，求得g(x)=-b>0，b<0

首先,把f(x)的图形大约画下
当f(x)>0 时,所有的对任意某个f(x)具体的值,就对应有四个根...
对于f(x)=0就只有三个根.....那就是x=1或x=2或x=0
再把那个方程拿来看..
f^2(x)+bf(x)+c=0要有七个根!
为什么要7个根,明显的一定要有f(x)=0否则只可能是4个,8个,0个
代入f(x)=0得到c=0
当然还要有一个正数k,使f(x)=k来产生四个根!
所以 f^2(x)+ bf(x)=0 <=> f(x)=-b b就是小于等于0了哦,其实可以更强些,b是不能=0的哦.

C